Elementarmathematik Beispiele

$- 2 x^{2} + 24 x - 2 y + 2 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 24 x + 2 = 2 y$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 24 x = 2 y - 2$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$b = 24$

$c = 0 = 2 y - 2$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = 2 y - 2$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{24}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{12}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 (6)}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$d = - 6$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 8}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $- 8$ .

$e = 0 - - 72$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 72$ .

$e = 0 + 72$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $0$ und $72$ .

$e = 72$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 2 {(x - 6)}^{2} + 72$ ein.

$- 2 {(x - 6)}^{2} + 72 = 2 y - 2$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $72$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 2 y - 2 - 72$

Schritt 3.2

Subtrahiere $72$ von $- 2$ .

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 2 y - 74$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(x - 6)}^{2} = 2 y - 74$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(x - 6)}^{2} = 2 y - 74$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{2 y}{- 2} + \frac{- 74}{- 2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{2 y}{- 2} + \frac{- 74}{- 2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere ${(x - 6)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{2 y}{- 2} + \frac{- 74}{- 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

${(x - 6)}^{2} = \frac{2 (y)}{- 2} + \frac{- 74}{- 2}$

Schritt 4.3.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

${(x - 6)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 74}{- 2}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

${(x - 6)}^{2} = - y + \frac{- 74}{- 2}$

Schritt 4.3.1.3

Dividiere $- 74$ durch $- 2$ .

${(x - 6)}^{2} = - y + 37$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

${(x - 6)}^{2} = - (y) + 37$

Schritt 5.2

Schreibe $37$ als $- 1 (- 37)$ um.

${(x - 6)}^{2} = - (y) - 1 (- 37)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 37)$ heraus.

${(x - 6)}^{2} = - (y - 37)$