Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$ als Gleichung.

$y = - x^{2} - 4 x - 1$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- x^{2} - 4 x - 1 = y$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 4 x = y + 1$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 1$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$d = - - 2$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$d = 2$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2.1.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 4.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 2)}^{2} + 4$ ein.

$- {(x + 2)}^{2} + 4 = y + 1$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(x + 2)}^{2} = y + 1 - 4$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere ${(x + 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

${(x + 2)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

${(x + 2)}^{2} = - y + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

${(x + 2)}^{2} = - y + 3$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

${(x + 2)}^{2} = - (y) + 3$

Schritt 7.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

${(x + 2)}^{2} = - (y) - 1 (- 3)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 3)$ heraus.

${(x + 2)}^{2} = - (y - 3)$