Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \log_{2} ((x + 2) (x - 3))$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{2} ((x + 2) (x - 3))$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$(x + 2) (x - 3) > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 3) > 0$ wahr machen.

$x = - 2, 3$

Schritt 2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 3) > 0$

Schritt 2.6.1.3

Die linke Seite $14$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 2) ((0) - 3) > 0$

Schritt 2.6.2.3

Die linke Seite $- 6$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((6) + 2) ((6) - 3) > 0$

Schritt 2.6.3.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 2, x > 3}$

Schritt 4