Elementarmathematik Beispiele

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log (x^{3} - 36 x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{3} - 36 x > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 36 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 36 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 36 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ heraus.

$x (x^{2} - 36) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 2.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 6) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 6, 6$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 224$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $81$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 81$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.9.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

Schritt 2.9.4.3

Die linke Seite $224$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 < x < 0$ oder $x > 6$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

Schritt 4