Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 6 x^{2} - 2 x + 9$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x^{2} - 2 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} - 2 x + 9$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 2 x + 9]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 2 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2 + 0)$

Schritt 2.9

Addiere $12 x - 2$ und $0$ .

$7 {(6 x^{2} - 2 x + 9)}^{6} (12 x - 2)$