Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 7$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 7$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 7$ mit $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 7$ mit $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4.2.4

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Schritt 4.2.6

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $14$ mit $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 16807$ und $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $686$ von $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 686$ und $686$ .

$0 - 7 + 7$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$- 7 + 7$

Schritt 4.3.5

Addiere $- 7$ und $7$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 7$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 7$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 14)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 7)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

Schritt 6.13

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

Schritt 6.14

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Schritt 7

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

Schritt 8

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

Schritt 9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

Schritt 9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 9.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

Schritt 9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 2 x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.2.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 11.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.7

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ heraus.

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Schritt 11.7.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{4}$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 11.7.2

Faktorisiere $7$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Schritt 11.7.3

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Schritt 11.7.4

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Schritt 11.7.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 11.8

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 11.9

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Schritt 11.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 11.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 11.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 11.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 11.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 11.11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 11.12

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

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Schritt 11.12.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 11.12.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Schritt 11.12.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 13

Setze ${(x^{2} + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze ${(x^{2} + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 13.2

Löse ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 13.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 13.2.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 13.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 13.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 13.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 14

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 14.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, - 7$

Schritt 16