Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y + 156 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $156$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y = - 156$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 20 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 20$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{20}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{10}{1}$

Schritt 2.3.2.2.4

Dividiere $10$ durch $1$ .

$d = 10$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{400}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $400$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$e = 0 - 100$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$e = - 100$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 10)}^{2} - 100$ ein.

${(x + 10)}^{2} - 100$

Schritt 3

Setze ${(x + 10)}^{2} - 100$ für $x^{2} + 20 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y = - 156$ .

${(x + 10)}^{2} - 100 + y^{2} + 18 y = - 156$

Schritt 4

Bringe $- 100$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $100$ auf beiden Seiten.

${(x + 10)}^{2} + y^{2} + 18 y = - 156 + 100$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 18 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 18$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{18}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{9}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$d = 9$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{324}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$e = 0 - 81$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $81$ von $0$ .

$e = - 81$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 9)}^{2} - 81$ ein.

${(y + 9)}^{2} - 81$

Schritt 6

Setze ${(y + 9)}^{2} - 81$ für $y^{2} + 18 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 20 x + 18 y = - 156$ .

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} - 81 = - 156 + 100$

Schritt 7

Bringe $- 81$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $81$ auf beiden Seiten.

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = - 156 + 100 + 81$

Schritt 8

Vereinfache $- 156 + 100 + 81$ .

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Schritt 8.1

Addiere $- 156$ und $100$ .

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = - 56 + 81$

Schritt 8.2

Addiere $- 56$ und $81$ .

${(x + 10)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 25$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = 5$

$h = - 10$

$k = - 9$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- 10, - 9)$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- 10, - 9)$

Radius: $5$

Schritt 13