Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 x + y^{2} = 16 y$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $16 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + y^{2} - 16 y = 0$

Schritt 1.2

Bewege $2 x$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 y = 0$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 2 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x + 1)}^{2} - 1$

Schritt 3

Setze ${(x + 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} + 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 16 y = 0$

Schritt 4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 16 y = 0 + 1$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 16 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 8}{1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$d = - 8$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Dividiere $256$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = 0 - 64$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$e = - 64$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - 8)}^{2} - 64$ ein.

${(y - 8)}^{2} - 64$

Schritt 6

Setze ${(y - 8)}^{2} - 64$ für $y^{2} - 16 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 y = 0$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = 0 + 1$

Schritt 7

Bringe $- 64$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $64$ auf beiden Seiten.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 0 + 1 + 64$

Schritt 8

Vereinfache $0 + 1 + 64$ .

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Schritt 8.1

Addiere $0$ und $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 1 + 64$

Schritt 8.2

Addiere $1$ und $64$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 65$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \sqrt{65}$

$h = - 1$

$k = 8$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- 1, 8)$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- 1, 8)$

Radius: $\sqrt{65}$

Schritt 13