Elementarmathematik Beispiele

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $144$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{16 x^{2}}{144} + \frac{9 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\sqrt{16 - 9}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $9$ von $16$ .

$\sqrt{7}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 4)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 4)$

Schritt 6.4

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (4))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 4)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \sqrt{7})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, \sqrt{7})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\sqrt{7}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - \sqrt{7})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{7})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{7})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $9$ von $16$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{7})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Schritt 10