Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x) = - \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $\cos^{2} (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 2

Ersetze $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) + 1 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (x) \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Ersetze die $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \sin^{2} (x)) + 1 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sin^{2} (x) + 2 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin^{2} (x) = - 2$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (x) = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (x) = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 2$

Schritt 3.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \sqrt{2}$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \sqrt{2}$

$\sin (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 3.9

Löse in $\sin (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\sqrt{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3.10

Löse in $\sin (x) = - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.10.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \sqrt{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung