Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ nicht definiert ist.

$x = - 4, x = 0, x = 1$

Schritt 2

Da $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von links und $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $1$ von rechts, dann ist $x = 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = 1$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 16)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4}$

Schritt 6.1.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4}$

Schritt 6.1.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x - 4)}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 6.1.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x ((x - 1) (x + 4))}$

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x - 1) (x + 4)}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ heraus.

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x (x - 1) (x + 4)}$

Schritt 6.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x (x - 1) (x + 4)$ heraus.

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Schritt 6.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Schritt 6.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (x + 4)) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x) (x - 4)}{x - 1}$

$\frac{x (x - 4)}{x - 1}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x (x - 4)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x - 1}$

Schritt 6.2.2

Stelle $x$ und $- 4$ um.

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Schritt 6.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Schritt 6.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Schritt 6.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} - 4 x}{x - 1}$

Schritt 6.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{x - 1}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Schritt 6.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Schritt 6.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	+	$3$

Schritt 6.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x + 3$

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$

Schritt 6.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Schritt 6.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x - 3 - \frac{3}{x - 1}$

Schritt 6.14

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$x - 3 + \frac{- 3 x^{2} - 12 x}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x - 3$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x - 3$

Schritt 8