Elementarmathematik Beispiele

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3})$

Schritt 3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\sin (x) \cos (\frac{π}{6}) + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \sin (\frac{π}{6}) - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (x) \frac{1}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \cos (\frac{π}{3}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\cos (x) \frac{1}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.1.5.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 4.1.5.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.1.5.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - (\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.1.7

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Schritt 4.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\frac{\cos (x)}{2}$ von $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + 0 + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.2.2

Addiere $\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2}$ und $0$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \sqrt{3}$ um.

$\frac{\sqrt{3} \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.5

Addiere $\sqrt{3} \sin (x)$ und $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Schritt 4.6.2

Dividiere $\sqrt{3} \sin (x)$ durch $1$ .

$\sqrt{3} \sin (x)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (x + \frac{π}{6}) - \cos (x + \frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung