Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(1 + \sin (θ))}^{2}$ und $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ als $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ um.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ ist eine Identitätsgleichung