Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 4 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 3 - (- 4 \cdot 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 - (- 4 \cdot 1)$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$6 - - 4$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$6 + 4$

Schritt 2.2.2

Addiere $6$ und $4$ .

$10$

Schritt 3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{10} [\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 4 & 2 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{10}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} \cdot 3 & \frac{1}{10} \cdot - 1 \\ \frac{1}{10} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \cdot - 1 \\ \frac{1}{10} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & \frac{- 1}{10} \\ \frac{1}{10} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{10} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{2 (5)} \cdot 4 & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{5} \cdot 2 & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{10} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{2 (5)} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{array}]$