Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 4 x + 7 \leq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 4 x + 7 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $28$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $28$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{3}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $28$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{3}$

Schritt 7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} - 4 x + 7$ ist immer größer als $0$ .

Keine Lösung