Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} \geq 3 x + 18$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 3 x \geq 18$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 3 x = 18$

Schritt 3

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{2} \geq 3 (- 6) + 18$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $36$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} \geq 3 (0) + 18$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $18$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{2} \geq 3 (8) + 18$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $64$ ist größer als die rechte Seite $42$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $x \geq 6$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Schritt 13