Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} > 4 x^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{4} - 4 x^{2} > 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{4} > 4 {(- 4)}^{2}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $256$ ist größer als die rechte Seite $64$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 1)}^{4} > 4 {(- 1)}^{2}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $1$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(1)}^{4} > 4 {(1)}^{2}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $1$ ist nicht größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{4} > 4 {(4)}^{2}$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $256$ ist größer als die rechte Seite $64$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 2$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 13