Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 2 x^{2} \geq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 2 x^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{2} x - 2 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 2$ heraus.

$x^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $32$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 2$ oder $x = 0$

Schritt 10

Vereine die Intervalle.

$x = 0 or x \geq 2$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[0, 0] \cup [2, \infty)$

Schritt 12