Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 x > 15$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 2 x = 15$

Schritt 2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{2} + 2 (- 8) > 15$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $48$ ist größer als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 2 (0) > 15$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} + 2 (6) > 15$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $48$ ist größer als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > 3$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (3, \infty)$

Schritt 12