Elementarmathematik Beispiele

$3 x \leq 20 - 2 x^{2}$

Schritt 1

Addiere $2 x^{2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x + 2 x^{2} \leq 20$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x + 2 x^{2} = 20$

Schritt 3

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 2 x^{2} - 20 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 u + 2 u^{2} - 20 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1

Stelle die Terme um.

$2 u^{2} + 3 u - 20 = 0$

Schritt 4.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$2 u^{2} + 3 (u) - 20 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $3$ um als $- 5$ plus $8$

$2 u^{2} + (- 5 + 8) u - 20 = 0$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 5 u + 8 u - 20 = 0$

Schritt 4.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 5 u) + 8 u - 20 = 0$

Schritt 4.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 5) + 4 (2 u - 5) = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 5$ .

$(2 u - 5) (u + 4) = 0$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(2 x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 6

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{2}, - 4$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (- 6) \leq 20 - 2 {(- 6)}^{2}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 18$ ist größer als die rechte Seite $- 52$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (0) \leq 20 - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 (5) \leq 20 - 2 {(5)}^{2}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $- 30$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq \frac{5}{2}$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 4, \frac{5}{2}]$

Schritt 13