Elementarmathematik Beispiele

$6 x^{2} - 15 x - 4 < 8 x$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x^{2} - 15 x - 4 - 8 x < 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 15 x$ .

$6 x^{2} - 23 x - 4 < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 23$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 23$ aus $- 23 x$ heraus.

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 23$ um als $1$ plus $- 24$

$6 x^{2} + (1 - 24) x - 4 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 1 x - 24 x - 4 = 0$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{2} + x - 24 x - 4 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + x) - 24 x - 4 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (6 x + 1) - 4 (6 x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x + 1$ .

$(6 x + 1) (x - 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 5

Setze $6 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $6 x + 1$ gleich $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $6 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{6}$

Schritt 6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(6 x + 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{6}, 4$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{6}$

$- \frac{1}{6} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 4 < 8 (- 3)$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $95$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 24$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{6} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{6} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(0)}^{2} - 15 \cdot 0 - 4 < 8 (0)$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(6)}^{2} - 15 \cdot 6 - 4 < 8 (6)$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $122$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $48$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{6}$ Falsch

$- \frac{1}{6} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - \frac{1}{6}$ Falsch

$- \frac{1}{6} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{6} < x < 4$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{1}{6}, 4)$

Schritt 12