Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{2} + 17 x < 12$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$5 x^{2} + 17 x = 12$

Schritt 2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 17 x - 12 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ und deren Summe gleich $b = 17$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $17$ aus $17 x$ heraus.

$5 x^{2} + 17 (x) - 12 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $17$ um als $- 3$ plus $20$

$5 x^{2} + (- 3 + 20) x - 12 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 3 x + 20 x - 12 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 3 x) + 20 x - 12 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 3$ .

$(5 x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 5

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $5 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{5}, - 4$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

$x > \frac{3}{5}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(- 6)}^{2} + 17 (- 6) < 12$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $78$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < \frac{3}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < \frac{3}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(0)}^{2} + 17 (0) < 12$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(3)}^{2} + 17 (3) < 12$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $96$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Wahr

$x > \frac{3}{5}$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Wahr

$x > \frac{3}{5}$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 4, \frac{3}{5})$

Schritt 12