Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ und $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{7 π}{4}$

Ankathete : $\frac{3 π}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 π}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 π$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7 π}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $7 π$ an.

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{9 π^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $\frac{9 π^{2}}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.10

Schreibe $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.10.2

Addiere $36 π^{2}$ und $49 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.11

Schreibe $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ als $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1

Stelle $85$ und $π^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $π$ aus $π \sqrt{85}$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{85}}$ mit $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{85}}$ mit $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $\sqrt{85}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Schritt 4.7.3

Potenziere $\sqrt{85}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Schritt 4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Schritt 4.7.6

Schreibe ${\sqrt{85}}^{2}$ als $85$ um.

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Schritt 4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{85}$ als $85^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Schritt 4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$