Elementarmathematik Beispiele

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{5}$ als $\sqrt{3^{5}}$ um.

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.5.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.8

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.10

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.10.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.10.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.15.5

Berechne den Exponenten.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.16

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.17

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.18

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.19

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Schritt 2.1.21

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.21.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Schritt 2.1.21.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Schritt 2.1.21.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Schritt 2.1.22

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Schritt 2.1.23

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Schritt 2.1.24

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.24.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Schritt 2.1.24.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Schritt 2.1.24.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Schritt 2.1.25

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $30 \sqrt{3}$ von $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $30 i$ von $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Schritt 2.2.3

Addiere $15 i$ und $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 21 \sqrt{3}$ und $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Schritt 2.2.5

Stelle $16 i$ und $- 16 \sqrt{3}$ um.

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 16 \sqrt{3}$ und $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Produktregel auf $- 16 \sqrt{3}$ an.

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.1.3

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Schritt 6.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $256$ mit $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Schritt 6.3.2

Addiere $256$ und $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Schritt 6.3.3

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Schritt 6.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 32$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{5 π}{6}$ und $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$