Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (a)$ und $b = \sin (a)$ .

$(\cos (a) + \sin (a)) (\cos (a) - \sin (a))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(\cos (a) + \sin (a)) (\cos (a) - \sin (a))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (a) (\cos (a) - \sin (a)) + \sin (a) (\cos (a) - \sin (a))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) (\cos (a) - \sin (a))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (a) \cos (a) + \cos (a) (- \sin (a)) + \sin (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$ .

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Schritt 2.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (a) (- \sin (a))$ und $\sin (a) \cos (a)$ neu an.

$\cos (a) \cos (a) - \cos (a) \sin (a) + \cos (a) \sin (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \cos (a) \sin (a)$ und $\cos (a) \sin (a)$ .

$\cos (a) \cos (a) + 0 + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.3.3

Addiere $\cos (a) \cos (a)$ und $0$ .

$\cos (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere $\cos (a) \cos (a)$ .

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.4.1.2

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (a)}^{1 + 1} + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (a) + \sin (a) (- \sin (a))$

Schritt 2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (a) - \sin (a) \sin (a)$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- \sin (a) \sin (a)$ .

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Schritt 2.4.3.1

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin (a))$

Schritt 2.4.3.2

Potenziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (a) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a))$

Schritt 2.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}$

Schritt 2.4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$

Schritt 2.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 a)$

Schritt 3

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos (2 a) = \cos^{2} (a) - \sin^{2} (a)$ ist eine Identitätsgleichung