Elementarmathematik Beispiele

$2 \cos^{2} (22.5 °) - 1$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 \cdot 22.5 °)$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $22.5 °$ .

$\cos (45)$

Schritt 3

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $45$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{90}{2})$

Schritt 3.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Schritt 3.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\cos (90)$ ist $0$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$ .

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.5.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.5.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 7.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 7.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Schritt 7.5

Addiere $0$ und $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.9.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.9.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.9.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 9

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $0$ .

$θ = 0$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = 0$ und $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$