Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Berechne $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Schritt 5.1.2

Berechne $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Schritt 5.1.3

Bringe $0.95105651$ auf die linke Seite von $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Schritt 5.2.2

Multipliziere.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $0.95105651$ mit $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Schritt 6

Multipliziere $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{10}$ und $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.2

Dividiere $- 4.63525491$ durch $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

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Schritt 7.1.3.1

Kombiniere $4.75528258$ und $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $4.75528258$ mit $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.3.3

Kombiniere $\frac{14.26584774}{10}$ und $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $14.26584774$ aus $14.26584774 i$ heraus.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.6

Separiere Brüche.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.7

Dividiere $14.26584774$ durch $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.8

Dividiere $i$ durch $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.9

Multipliziere $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

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Schritt 7.1.9.1

Kombiniere $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ und $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.9.2

Mutltipliziere $- 1.54508497$ mit $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.9.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.11

Faktorisiere $8.02849701$ aus $8.02849701 i$ heraus.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.12

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.13

Separiere Brüche.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.14

Dividiere $8.02849701$ durch $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.15

Dividiere $i$ durch $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.16

Mutltipliziere $0.8028497$ mit $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Schritt 7.1.17

Multipliziere $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

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Schritt 7.1.17.1

Kombiniere $4.75528258$ und $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Schritt 7.1.17.2

Mutltipliziere $3$ mit $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Schritt 7.1.17.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Schritt 7.1.17.4

Kombiniere $\frac{24.7091731 i}{10}$ und $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Schritt 7.1.17.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Schritt 7.1.17.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Schritt 7.1.17.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Schritt 7.1.17.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Schritt 7.1.18

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Schritt 7.1.19

Mutltipliziere $24.7091731$ mit $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Schritt 7.1.20

Dividiere $- 24.7091731$ durch $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2.47091731$ von $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Schritt 7.3

Subtrahiere $0.8028497 i$ von $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Schritt 8

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 9

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 10

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 2.9344428$ und $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 11.1

Potenziere $0.62373507$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Schritt 11.2

Potenziere $- 2.9344428$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Schritt 11.3

Addiere $0.38904544$ und $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Schritt 11.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 11.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 3$

Schritt 12

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Schritt 13

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Schritt 14

Substituiere die Werte von $θ = 2.93215314$ und $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$