Elementarmathematik Beispiele

${(3 c i s \frac{π}{6})}^{3}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 c i s$ heraus.

${(3 (c i s) \frac{π}{6})}^{3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

${(3 (c i s) \frac{π}{3 (2)})}^{3}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 (c i s) \frac{π}{3 \cdot 2})}^{3}$

Schritt 1.4

Forme den Ausdruck um.

${(c i s \frac{π}{2})}^{3}$

Schritt 2

Kombiniere $c$ und $\frac{π}{2}$ .

${(i s \frac{c π}{2})}^{3}$

Schritt 3

Kombiniere $i$ und $\frac{c π}{2}$ .

${(s \frac{i (c π)}{2})}^{3}$

Schritt 4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c π)}{2}$ .

${(\frac{s (i (c π))}{2})}^{3}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{s i c π}{2}$ an.

$\frac{{(s i c π)}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $s i c π$ an.

$\frac{{(s i c)}^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $s i c$ an.

$\frac{{(s i)}^{3} c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $s i$ an.

$\frac{s^{3} i^{3} c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{s^{3} (i^{2} \cdot i) c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Schritt 6.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{s^{3} (- 1 \cdot i) c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Schritt 6.3

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{s^{3} \cdot - 1 i c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{s^{3} \cdot - 1 i c^{3} π^{3}}{8}$

Schritt 7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $s^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot s^{3} i c^{3} π^{3}}{8}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{s^{3} i c^{3} π^{3}}{8}$

Schritt 8

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 9

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 10

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8})}^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 11.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $s^{3}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$

Schritt 12

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}}{0})$

Schritt 13

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 14

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = \frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$ .

$\frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))}$