Elementarmathematik Beispiele

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere ${(- 2)}^{3}$ mit $- 2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1

Bewege $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit ${(- 2)}^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $24 (4 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.12

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.13

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Schritt 2.1.19

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Schritt 2.1.20

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Schritt 2.1.21

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.21.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.21.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.1.21.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Schritt 2.1.22

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $96$ von $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 80$ und $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $64 i$ von $64 i$ .

$- 64 + 0$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 64$ und $0$ .

$- 64$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 64$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 64$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Schritt 6.4

Schreibe $4096$ als $64^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 64$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{- 64}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $π$ .

$θ = π$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = π$ und $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$