Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{2 π}{3}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 π}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $2 π$ an.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $\frac{4 π^{2}}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

Schritt 4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ als $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Schreibe $4 π^{2}$ als ${(2 π)}^{2}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

Schritt 6

Substituiere die Werte von $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ und $| z | = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$