Elementarmathematik Beispiele

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ heraus.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ mit der Konjugierten von $10 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Schritt 3

Multipliziere.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.1.8

Mutltipliziere $i$ mit $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(10 i) (1 + 0 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Schritt 3.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Schritt 3.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 3.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Schritt 3.3.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Schritt 3.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Schritt 3.3.2.11

Subtrahiere $0 i$ von $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Schritt 4

Dividiere $- 20 i$ durch $1$ .

$- 20 i$

Schritt 5

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 6

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 7

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 2$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 8

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 8.1

Potenziere $0$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 8.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Schritt 8.3

Addiere $0$ und $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Schritt 8.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 2$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Schritt 10

Da der inverse Tangens von $\frac{0}{- 2}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Schritt 11

Substituiere die Werte von $θ = 3.14159265$ und $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$