Elementarmathematik Beispiele

$(5 + 5 i) (8 (\cos (\frac{3 π}{7}) + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Berechne $\cos (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Schritt 1.1.2

Berechne $\sin (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \cdot 0.97492791))$

Schritt 1.1.3

Bringe $0.97492791$ auf die linke Seite von $i$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + 0.97492791 i))$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 + 5 i) (8 \cdot 0.22252093 + 8 (0.97492791 i))$

Schritt 1.2.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.22252093$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 8 (0.97492791 i))$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $0.97492791$ mit $8$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Schritt 2

Multipliziere $(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (1.78016747 + 7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1.78016747$ .

$8.90083735 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $7.79942329$ mit $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $1.78016747$ mit $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 5 i (7.79942329 i)$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $5 i (7.79942329 i)$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $7.79942329$ mit $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i i$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i)$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i^{1})$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{1 + 1}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{2}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $38.99711648$ mit $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i - 38.99711648$

Schritt 3.2

Subtrahiere $38.99711648$ von $8.90083735$ .

$- 30.09627912 + 38.99711648 i + 8.90083735 i$

Schritt 3.3

Addiere $38.99711648 i$ und $8.90083735 i$ .

$- 30.09627912 + 47.89795384 i$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 30.09627912$ und $b = 47.89795384$ .

$| z | = \sqrt{{47.89795384}^{2} + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $47.89795384$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Schritt 7.2

Potenziere $- 30.09627912$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + 905.78601741}$

Schritt 7.3

Addiere $2294.21398258$ und $905.78601741$ .

$| z | = \sqrt{3199.\overline{9}}$

Schritt 8

Berechne die Wurzel.

$| z | = 56.56854249$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{47.89795384}{- 30.09627912})$

Schritt 10

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{47.89795384}{- 30.09627912}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $2.13179501$ .

$θ = 2.13179501$

Schritt 11

Substituiere die Werte von $θ = 2.13179501$ und $| z | = 56.56854249$ .

$56.56854249 (\cos (2.13179501) + i \sin (2.13179501))$