Elementarmathematik Beispiele

$- 4 \sqrt{2} (1 - i)$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \sqrt{2} \cdot 1 - 4 \sqrt{2} (- i)$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} (- i)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4 \sqrt{2}$ und $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Schritt 6.4.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Schritt 6.5.2

Addiere $32$ und $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 6.5.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 6.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$