Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 4}{2 x - 1} > 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} + \frac{- 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{x + 4 - 6 x - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{x + 4 - 6 x + 3}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 3}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4.5

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{- 5 x + 7}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{- (5 x) + 7}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.6

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{- (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (5 x - 7)$ als $- 1 (5 x - 7)$ um.

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$5 x - 7 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 7$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{7}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{7}{5}, \frac{1}{2}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 4}{2 (0) - 1} > 3$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 4$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(1) + 4}{2 (1) - 1} > 3$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 4}{2 (4) - 1} > 3$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $1.\overline{142857}$ ist nicht größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Wahr

$x > \frac{7}{5}$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Wahr

$x > \frac{7}{5}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{5})$

Schritt 15