Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 10.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 10.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 10.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 10.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Schritt 10.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 10.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 10.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 10.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1 - \sqrt{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1 - \sqrt{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1 + \sqrt{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1 + \sqrt{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.\overline{2}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Wahr

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Falsch

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Falsch

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Wahr

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Falsch

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ oder $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

Schritt 15