Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 6}{x - 2} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 6$

$x = 2$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 6, 2$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 6}{x - 2}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 6}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 8) + 6}{(- 8) - 2} < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0.2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 6}{(0) - 2} < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 6}{(4) - 2} < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 < x < 2$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 6, 2)$

Schritt 11