Elementarmathematik Beispiele

$\frac{4 + x}{4 - x} \geq 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4 + x}{4 - x} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} - 1 \cdot \frac{4 - x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{4 + x}{4 - x} + \frac{- (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 + x - (4 - x)}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 + x - 1 \cdot 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 + x - 4 - - x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 + x - 4 + 1 x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 + x - 4 + x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{x + 0 + x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4.5

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x + x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 2.4.6

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x}{4 - x} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x = 0$

$4 - x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 4$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 4$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x}{4 - x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{4 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 9.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - 2}{4 - (- 2)} \geq 1$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 + 2}{4 - (2)} \geq 1$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 + 6}{4 - (6)} \geq 1$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x < 4$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[0, 4)$

Schritt 14