Elementarmathematik Beispiele

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$5 x - 7 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 7$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 7$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{7}{5}$

$x = 1, - 1$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{7}{5}, 1, - 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 10.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 10.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 10.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 10.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 10.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (- 4) - 7}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 1.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (0) - 7}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $7$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < \frac{7}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < \frac{7}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.2$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $1.2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (1.2) - 7}{{(1.2)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 2.\overline{27}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (4) - 7}{{(4)}^{2} - 1} \geq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.8\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < \frac{7}{5}$ Falsch

$x > \frac{7}{5}$ Wahr

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < \frac{7}{5}$ Falsch

$x > \frac{7}{5}$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 1$ oder $x \geq \frac{7}{5}$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1, 1) \cup [\frac{7}{5}, \infty)$

Schritt 15