Elementarmathematik Beispiele

$\frac{- 5}{x - 7} \leq - 5$

Schritt 1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{- 5}{x - 7} + 5 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{- 5}{x - 7} + 5$ .

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x - 7} + 5 \leq 0$

Schritt 2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$- \frac{5}{x - 7} + \frac{5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 + 5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 + 5 (x - 7)$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot - 1 + 5 (x - 7)$ heraus.

$\frac{5 (- 1 + x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $7$ von $- 1$ .

$\frac{5 (x - 8)}{x - 7} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 8 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 4

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 5

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 8$

$x = 7$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 8, 7$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5 (x - 8)}{x - 7}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{5 (x - 8)}{x - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 7 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 7$

$7 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 5}{(0) - 7} \leq - 5$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0.\overline{714285}$ ist größer als die rechte Seite $- 5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $7 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7.5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $7.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 5}{(7.5) - 7} \leq - 5$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $- 5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 5}{(10) - 7} \leq - 5$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 1.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $- 5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 7$ Falsch

$7 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < 7$ Falsch

$7 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$7 < x \leq 8$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(7, 8]$

Schritt 13