Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 6, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 3$

Schritt 7

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 25$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Schritt 9

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 10

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 10.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 10.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 11.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 14

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

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Schritt 14.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 14.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 25$

Schritt 14.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 25$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Schritt 14.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Schritt 14.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 14.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 14.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 14.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.4.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 14.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 14.2.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 14.2.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 14.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 14.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 14.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Schritt 14.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Schritt 15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 16.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 16.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Schritt 16.1.3

Die linke Seite $1.17\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 16.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Schritt 16.2.3

Die linke Seite $- 0.72$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 16.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{2} < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{2} < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.75$

Schritt 16.3.2

Ersetze $x$ durch $2.75$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Schritt 16.3.3

Die linke Seite $0.1547619$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.4

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 16.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Schritt 16.4.3

Die linke Seite $- 0.\overline{051282}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 16.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 16.5.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Schritt 16.5.3

Die linke Seite $0.\overline{043290}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5}{2}$ Falsch

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falsch

$3 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - \frac{5}{2}$ Falsch

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$\frac{5}{2} < x < 3$ Falsch

$3 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ oder $3 \leq x \leq 6$

Schritt 18

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Schritt 19