Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 81 = 0$

$x^{4} - 81 = 0$

Schritt 2

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 81$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{81}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{81}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 9$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 9$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 9$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 9, - 9$

Schritt 6

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 81$

Schritt 7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Schritt 8

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Schritt 8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 9, - 9$

$x = 3, - 3$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 9, - 9, 3, - 3$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ .

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Schritt 12.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 81}{x^{4} - 81}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} - 81 = 0$

Schritt 12.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 81$

Schritt 12.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{81}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{81}$ .

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Schritt 12.2.3.1

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Schritt 12.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 12.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 12.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 12.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 12)}^{2} - 81}{{(- 12)}^{4} - 81} < 0$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $0.0030501$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 9 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 9 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 14.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 81}{{(- 6)}^{4} - 81} < 0$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $- 0.\overline{037}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 14.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{4} - 81} < 0$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $1$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 14.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 81}{{(6)}^{4} - 81} < 0$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $- 0.\overline{037}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 14.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 14.5.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(12)}^{2} - 81}{{(12)}^{4} - 81} < 0$

Schritt 14.5.3

Die linke Seite $0.0030501$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 14.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 9 < x < - 3$ oder $3 < x < 9$

Schritt 16

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 9, - 3) \cup (3, 9)$

Schritt 17