Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 49 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 2

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 49$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{49}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{49}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 7$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7, - 7$

Schritt 6

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 7, - 7$

$x = 9$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 7, - 7, 9$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 9 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 10)}^{2} - 49}{(- 10) - 9} \leq 0$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 2.68421052$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 49}{(0) - 9} \leq 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $5.\overline{4}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $7 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(8)}^{2} - 49}{(8) - 9} \leq 0$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(12)}^{2} - 49}{(12) - 9} \leq 0$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $31.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < 7$ Falsch

$7 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

$x < - 7$ Wahr

$- 7 < x < 7$ Falsch

$7 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 7$ oder $7 \leq x < 9$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 7] \cup [7, 9)$

Schritt 14