Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} \geq 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} - 1 \cdot \frac{3 x + 2}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{3 x + 2} + \frac{- (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x - 7 - (3 x + 2)}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 7 - (3 x) - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 1 \cdot 2}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 7 - 3 x - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{- x - 7 - 2}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.4.5

Subtrahiere $2$ von $- 7$ .

$\frac{- x - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 9}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (9)}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{- (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$\frac{- 1 (x + 9)}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 9}{3 x + 2} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 9 = 0$

$3 x + 2 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 9$

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 9, - \frac{2}{3}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x + 9}{3 x + 2}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 9}{3 x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x + 2 = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 9$

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 12) - 7}{3 (- 12) + 2} \geq 1$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.9117647$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 9 < x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 5) - 7}{3 (- 5) + 2} \geq 1$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $1.\overline{307692}$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) - 7}{3 (0) + 2} \geq 1$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 3.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Wahr

$x > - \frac{2}{3}$ Falsch

$x < - 9$ Falsch

$- 9 < x < - \frac{2}{3}$ Wahr

$x > - \frac{2}{3}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 9 \leq x < - \frac{2}{3}$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 9, - \frac{2}{3})$

Schritt 14