Elementarmathematik Beispiele

$\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 6

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 9

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 11

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = i, - i$

$x = 5$

$x = 5, - 5$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 5, 5, - 5$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Setze den Nenner in $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 13.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 13.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 13.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 13.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 13.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) - 5)}{{(- 8)}^{2} - 25} \geq 0$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $- 21.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 15.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{({(0)}^{2} + 1) ((0) - 5)}{{(0)}^{2} - 25} \geq 0$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $0.2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 15.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{({(8)}^{2} + 1) ((8) - 5)}{{(8)}^{2} - 25} \geq 0$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Wahr

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Wahr

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < 5$ oder $x > 5$

Schritt 17

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 18