Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 36} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x^{2} - 36 = 0$

Schritt 2

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 36$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{36}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 6$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 6$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 6$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6, - 6$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 5$

$x = 6, - 6$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5, 6, - 6$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 36}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} - 36}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 36 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 36$

Schritt 10.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{36}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 10.2.3.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 10.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 6$

Schritt 10.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 6$

Schritt 10.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 6$

Schritt 10.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6, - 6$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((- 8) + 5)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 36} \geq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $0.32142857$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5.5$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((- 5.5) + 5)}^{2}}{{(- 5.5)}^{2} - 36} \geq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 0.04347826$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((0) + 5)}^{2}}{{(0)}^{2} - 36} \geq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.69\overline{4}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{((8) + 5)}^{2}}{{(8)}^{2} - 36} \geq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $6.03571428$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $x > 6$ oder $x = - 5$

Schritt 14

Vereine die Intervalle.

$x < - 6 or x = - 5 or x > 6$

Schritt 15

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6) \cup [- 5, - 5] \cup (6, \infty)$

Schritt 16