Elementarmathematik Beispiele

$25 x^{2} - 40 x - 34 = 0$

Schritt 1

Addiere $34$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} - 40 x = 34$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $25 x^{2} - 40 x = 34$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 x^{2} - 40 x = 34$ durch $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} + \frac{- 40 x}{25} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x^{2}}{25} + \frac{- 40 x}{25} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 40 x}{25} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $25$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 40 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{5 (- 8 x)}{25} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$x^{2} + \frac{5 (- 8 x)}{5 (5)} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{5 (- 8 x)}{5 \cdot 5} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 8 x}{5} = \frac{34}{25}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} = \frac{34}{25}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + {(- \frac{4}{5})}^{2} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + 1 \frac{4^{2}}{5^{2}} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{4^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{4^{2}}{5^{2}} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5^{2}} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{34}{25} + {(- \frac{4}{5})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + 1 \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{4^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + \frac{16}{5^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34}{25} + \frac{16}{25}$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{34 + 16}{25}$

Schritt 5.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Addiere $34$ und $16$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{50}{25}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Dividiere $50$ durch $25$ .

$x^{2} - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = 2$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{4}{5})}^{2}$ .

${(x - \frac{4}{5})}^{2} = 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - \frac{4}{5} = \pm \sqrt{2}$

Schritt 7.2

Addiere $\frac{4}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \sqrt{2} + \frac{4}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \sqrt{2} + \frac{4}{5}$

Dezimalform:

$x = 2.21421356 \dots, - 0.61421356 \dots$