Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} + 25 x^{2} + 144$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 25 x^{2} + 144$ gleich $0$ .

$x^{4} + 25 x^{2} + 144 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 25 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $u^{2} + 25 u + 144$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $144$ und deren Summe $25$ ist.

$9, 16$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 9) (u + 16) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u + 9 = 0$

$u + 16 = 0$

Schritt 2.4

Setze $u + 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $u + 9$ gleich $0$ .

$u + 9 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 9$

Schritt 2.5

Setze $u + 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u + 16$ gleich $0$ .

$u + 16 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 16$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u + 9) (u + 16) = 0$ wahr machen.

$u = - 9, - 16$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 9$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.9.2.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.9.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.9.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.9.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.9.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.9.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 16$

Schritt 2.11.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 2.11.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 2.11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 2.11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 2.11.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 4$

Schritt 2.11.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i$

Schritt 2.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i$

Schritt 2.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i$

Schritt 2.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i, - 4 i$

Schritt 2.12

Die Lösung von $x^{4} + 25 x^{2} + 144 = 0$ ist $x = 3 i, - 3 i, 4 i, - 4 i$ .

$x = 3 i, - 3 i, 4 i, - 4 i$

Schritt 3