Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ gleich $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} - 20 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 20 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 10 u - 75$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 75$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 15, 5$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $- 4 x (x^{2} + 5)$ heraus.

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ heraus.

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 5$ aus $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ heraus.

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

Schritt 2.1.8

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 5$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 4 x - 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 4 x - 15$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Addiere $16$ und $60$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 2.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ wahr machen.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Schritt 3