Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 40$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 40$ gleich $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x - 40 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} - 6 x^{2} + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 3 x^{2}$ aus $- 3 x^{3} - 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 3 x^{2}$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x^{2} x - 6 x^{2} + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 3 x^{2}$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- 3 x^{2} x - 3 x^{2} \cdot 2 + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 3 x^{2}$ aus $- 3 x^{2} (x) - 3 x^{2} (2)$ heraus.

$- 3 x^{2} (x + 2) + x^{4} - 12 x - 40 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{4} - 12 x - 40$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Schritt 2.1.3.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{4} - 12 \cdot - 2 - 40$

Schritt 2.1.3.3.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 - 12 \cdot - 2 - 40$

Schritt 2.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$16 + 24 - 40$

Schritt 2.1.3.3.4

Addiere $16$ und $24$ .

$40 - 40$

Schritt 2.1.3.3.5

Subtrahiere $40$ von $40$ .

$0$

Schritt 2.1.3.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 12 x - 40}{x + 2}$

Schritt 2.1.3.5

Dividiere $x^{4} - 12 x - 40$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.1.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

Schritt 2.1.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

Schritt 2.1.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.1.3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

Schritt 2.1.3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

Schritt 2.1.3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} + 8 x$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

Schritt 2.1.3.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

Schritt 2.1.3.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$20$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

Schritt 2.1.3.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$4 x$	-	$20$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$40$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
									-	$20 x$	-	$40$
									-	$20 x$	-	$40$

Schritt 2.1.3.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 x - 40$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$20$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

$20 x$

$40$

Schritt 2.1.3.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$20$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$40$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$12 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$20 x$

$40$

$20 x$

$40$

$0$

Schritt 2.1.3.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20$

Schritt 2.1.3.6

Schreibe $x^{4} - 12 x - 40$ als eine Menge von Faktoren.

$- 3 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x + 2$ aus $- 3 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20)$ heraus.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $- 3 x^{2} (x + 2)$ heraus.

$(x + 2) (- 3 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (- 3 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20)$ heraus.

$(x + 2) (- 3 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.5

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 3 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Schreibe $x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 20$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.6.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.6.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) ((x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.6.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x^{2} (x - 5) + 4 (x - 5)) = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 5$ .

$(x + 2) ((x - 5) (x^{2} + 4)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 5) (x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 2.5.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 2.5.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 5) (x^{2} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 5, 2 i, - 2 i$

Schritt 3