Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

Schritt 1

Setze $x^{5} + x^{3} - 42 x$ gleich $0$ .

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + x^{3} - 42 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 42 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ heraus.

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ heraus.

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $u^{2} + u - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $1$ ist.

$- 6, 7$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 6$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 6$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 2.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 2.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 7$ gleich $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 7$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{7}$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{7}$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{7}$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Schritt 3